Training:卡特兰数(Catalan Number)

都是些卡特兰数的简单应用,组合数学上有所介绍。
卡特兰数公式

C n = ( 2 n n ) − ( 2 n n + 1 ) = 1 n + 1 ( 2 n n )
for n ≥ 0

卡特兰数会用到大数,题目代码中的大数部分就不贴了,最后会贴个大数模板。
前几道题并没有什么难度,看组合数学就可以,最后一道用到了快速求组合数。
HDU 2067:
http://acm.hust.edu.cn/vjudge/problem/visitOriginUrl.action?id=13389
输出从 n ∗ n 正方形左下顶点走到右上顶点的不穿越副对角线的路径数目。
就是卡特兰数可以从上方的三角形走,也可以从下方的三角形走,所以是卡特兰数 C n ∗ 2 。

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
#include<iostream>
using namespace std;
const int maxn=71;
long long c[maxn][maxn];
int main(){
for(int i=0;i<maxn;++i) c[i][0]=1;
for(int i=1;i<maxn;++i)
for(int j=1;j<=i;++j)
c[i][j]=c[i-1][j]+c[i-1][j-1];
int n,t=0;
while(cin>>n&&n!=-1)
cout<<++t<<" "<<n<<" "<<(c[2*n][n]-c[2*n][n-1])*2<<endl;
return 0;
}

HDU 1134:
http://acm.hust.edu.cn/vjudge/problem/visitOriginUrl.action?id=31502

1
2
3
4
5
6
7
8
BigNum h[110];
int main(){
h[0]=1;
for(int i=1;i<110;++i) h[i]=h[i-1]*(4*i-2)/(i+1);
int n;
while(cin>>n&&n!=-1) h[n].print();
return 0;
}

HDU 1133:
http://acm.hust.edu.cn/vjudge/problem/visitOriginUrl.action?id=18982

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
BigNum k[210];
int main(){
k[0]=1;
for(int i=1;i<210;++i) k[i]=k[i-1]*i;
int n,m,t=0;
while(cin>>m>>n&&(n||m)){
cout<<"Test #"<<++t<<":\n";
if(n>m) cout<<0<<endl;
else (k[n+m]*(m-n+1)/(m+1)).print();
}
return 0;
}

HDU 1130:
http://acm.hust.edu.cn/vjudge/problem/visitOriginUrl.action?id=23152

1
2
3
4
5
6
7
8
BigNum h[110];
int main(){
h[0]=1;
for(int i=1;i<110;++i) h[i]=h[i-1]*(4*i-2)/(i+1);
int n;
while(cin>>n&&n!=-1) h[n].print();
return 0;
}

HDU 1131:
http://acm.hust.edu.cn/vjudge/problem/visitOriginUrl.action?id=31500

1
2
3
4
5
6
7
8
BigNum h[110],k[110];
int main(){
h[0]=k[0]=1;
for(int i=1;i<110;++i) h[i]=h[i-1]*(4*i-2)/(i+1),k[i]=k[i-1]*i;
int n;
while(cin>>n&&n) (h[n]*k[n]).print();
return 0;
}

HDU 1023:
http://acm.hust.edu.cn/vjudge/problem/visitOriginUrl.action?id=18469

1
2
3
4
5
6
7
8
BigNum h[110];
int main(){
h[0]=1;
for(int i=1;i<110;++i) h[i]=h[i-1]*(4*i-2)/(i+1);
int n;
while(cin>>n&&n!=-1) h[n].print();
return 0;
}

HDU 1267:
http://acm.hust.edu.cn/vjudge/problem/visitOriginUrl.action?id=38281

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
#include<iostream>
using namespace std;
const int maxn=22;
long long a[maxn][maxn];
int main(){
for(int i=0;i<maxn;++i) a[i][0]=1;
for(int i=1;i<maxn;++i)
for(int j=1;j<=i;++j)
a[i][j]=a[i-1][j]+a[i][j-1];
int n,m;
while(cin>>n>>m) cout<<a[n][m]<<endl;
return 0;
}

HDU 3398:
http://acm.hust.edu.cn/vjudge/problem/visitOriginUrl.action?id=14690
类似于卡特兰数,推出公式为

a n s = ( n + m n ) − ( n + m n + 1 ) , ( n , m ≤
1000000 )


由于 n , m 很大不能使用一般的方法求出组合数,使用唯一分解,然后用快速幂求出所求组合数。

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
#include<iostream>
using namespace std;
const int maxn=1000010;
const int mod=20100501;
bool np[maxn*2];
int p[maxn*2],prime;
void pre(){
int k=maxn*2;
for(int i=2;i<k;i++){
if(!np[i]) p[prime++]=i;
for(int j=0;j<prime&&i*p[j]<k;j++){
np[i*p[j]]=1;
if(!(i%p[j])) break;
}
}
}
int cal(int p,int n){
int ans=0;
while(n) n/=p,ans+=n;
return ans;
}
long long mod_exp(int a,int b){
long long cur=1,tmp=a;
while(b){
if(b&1) cur=cur*tmp%mod;
tmp=tmp*tmp%mod;
b>>=1;
}
return cur;
}
int main(){
pre();
int t;cin>>t;
while(t--){
int n,m;cin>>n>>m;
long long ans=1;
int k=n+1-m;
for(int i=0;i<prime&&p[i]<=(n+m);++i){
int cnt=0;
while(k%p[i]==0) k/=p[i],++cnt;
cnt+=cal(p[i],n+m)-cal(p[i],m)-cal(p[i],n+1);
ans*=mod_exp(p[i],cnt),ans%=mod;
}
cout<<ans<<endl;
}
return 0;
}

大数模板:

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
#define MAXN 9999
#define MAXSIZE 10
#define DLEN 4
class BigNum
{
private:
int a[500]; //可以控制大数的位数
int len; //大数长度
public:
BigNum(){ len = 1;memset(a,0,sizeof(a)); } //构造函数
BigNum(const int); //将一个int类型的变量转化为大数
BigNum(const char*); //将一个字符串类型的变量转化为大数
BigNum(const BigNum &); //拷贝构造函数
BigNum &operator=(const BigNum &); //重载赋值运算符,大数之间进行赋值运算
friend istream& operator>>(istream&, BigNum&); //重载输入运算符
friend ostream& operator<<(ostream&, BigNum&); //重载输出运算符
BigNum operator+(const BigNum &) const; //重载加法运算符,两个大数之间的相加运算
BigNum operator-(const BigNum &) const; //重载减法运算符,两个大数之间的相减运算
BigNum operator*(const BigNum &) const; //重载乘法运算符,两个大数之间的相乘运算
BigNum operator/(const int &) const; //重载除法运算符,大数对一个整数进行相除运算
BigNum operator^(const int &) const; //大数的n次方运算
int operator%(const int &) const; //大数对一个int类型的变量进行取模运算
bool operator>(const BigNum & T)const; //大数和另一个大数的大小比较
bool operator>(const int & t)const; //大数和一个int类型的变量的大小比较
void print(); //输出大数
};
BigNum::BigNum(const int b) //将一个int类型的变量转化为大数
{
int c,d = b;
len = 0;
memset(a,0,sizeof(a));
while(d > MAXN)
{
c = d - (d / (MAXN + 1)) * (MAXN + 1);
d = d / (MAXN + 1);
a[len++] = c;
}
a[len++] = d;
}
BigNum::BigNum(const char*s) //将一个字符串类型的变量转化为大数
{
int t,k,index,l,i;
memset(a,0,sizeof(a));
l=(int)strlen(s);
len=l/DLEN;
if(l%DLEN)
len++;
index=0;
for(i=l-1;i>=0;i-=DLEN)
{
t=0;
k=i-DLEN+1;
if(k<0)
k=0;
for(int j=k;j<=i;j++)
t=t*10+s[j]-'0';
a[index++]=t;
}
}
BigNum::BigNum(const BigNum & T) : len(T.len) //拷贝构造函数
{
int i;
memset(a,0,sizeof(a));
for(i = 0 ; i < len ; i++)
a[i] = T.a[i];
}
BigNum & BigNum::operator=(const BigNum & n) //重载赋值运算符,大数之间进行赋值运算
{
int i;
len = n.len;
memset(a,0,sizeof(a));
for(i = 0 ; i < len ; i++)
a[i] = n.a[i];
return *this;
}
istream& operator>>(istream & in, BigNum & b) //重载输入运算符
{
char ch[MAXSIZE*4];
int i = -1;
in>>ch;
int l=(int)strlen(ch);
int count=0,sum=0;
for(i=l-1;i>=0;)
{
sum = 0;
int t=1;
for(int j=0;j<4&&i>=0;j++,i--,t*=10)
{
sum+=(ch[i]-'0')*t;
}
b.a[count]=sum;
count++;
}
b.len =count++;
return in;
}
ostream& operator<<(ostream& out, BigNum& b) //重载输出运算符
{
int i;
cout << b.a[b.len - 1];
for(i = b.len - 2 ; i >= 0 ; i--)
{
cout.width(DLEN);
cout.fill('0');
cout << b.a[i];
}
return out;
}
BigNum BigNum::operator+(const BigNum & T) const //两个大数之间的相加运算
{
BigNum t(*this);
int i,big; //位数
big = T.len > len ? T.len : len;
for(i = 0 ; i < big ; i++)
{
t.a[i] +=T.a[i];
if(t.a[i] > MAXN)
{
t.a[i + 1]++;
t.a[i] -=MAXN+1;
}
}
if(t.a[big] != 0)
t.len = big + 1;
else
t.len = big;
return t;
}
BigNum BigNum::operator-(const BigNum & T) const //两个大数之间的相减运算
{
int i,j,big;
bool flag;
BigNum t1,t2;
if(*this>T)
{
t1=*this;
t2=T;
flag=0;
}
else
{
t1=T;
t2=*this;
flag=1;
}
big=t1.len;
for(i = 0 ; i < big ; i++)
{
if(t1.a[i] < t2.a[i])
{
j = i + 1;
while(t1.a[j] == 0)
j++;
t1.a[j--]--;
while(j > i)
t1.a[j--] += MAXN;
t1.a[i] += MAXN + 1 - t2.a[i];
}
else
t1.a[i] -= t2.a[i];
}
t1.len = big;
while(t1.a[len - 1] == 0 && t1.len > 1)
{
t1.len--;
big--;
}
if(flag)
t1.a[big-1]=0-t1.a[big-1];
return t1;
}
BigNum BigNum::operator*(const BigNum & T) const //两个大数之间的相乘运算
{
BigNum ret;
int i,j,up;
int temp,temp1;
for(i = 0 ; i < len ; i++)
{
up = 0;
for(j = 0 ; j < T.len ; j++)
{
temp = a[i] * T.a[j] + ret.a[i + j] + up;
if(temp > MAXN)
{
temp1 = temp - temp / (MAXN + 1) * (MAXN + 1);
up = temp / (MAXN + 1);
ret.a[i + j] = temp1;
}
else
{
up = 0;
ret.a[i + j] = temp;
}
}
if(up != 0)
ret.a[i + j] = up;
}
ret.len = i + j;
while(ret.a[ret.len - 1] == 0 && ret.len > 1)
ret.len--;
return ret;
}
BigNum BigNum::operator/(const int & b) const //大数对一个整数进行相除运算
{
BigNum ret;
int i,down = 0;
for(i = len - 1 ; i >= 0 ; i--)
{
ret.a[i] = (a[i] + down * (MAXN + 1)) / b;
down = a[i] + down * (MAXN + 1) - ret.a[i] * b;
}
ret.len = len;
while(ret.a[ret.len - 1] == 0 && ret.len > 1)
ret.len--;
return ret;
}
int BigNum::operator %(const int & b) const //大数对一个int类型的变量进行取模运算
{
int i,d=0;
for (i = len-1; i>=0; i--)
{
d = ((d * (MAXN+1))% b + a[i])% b;
}
return d;
}
BigNum BigNum::operator^(const int & n) const //大数的n次方运算
{
BigNum t,ret(1);
int i;
if(n<0)
exit(-1);
if(n==0)
return 1;
if(n==1)
return *this;
int m=n;
while(m>1)
{
t=*this;
for( i=1;i<<1<=m;i<<=1)
{
t=t*t;
}
m-=i;
ret=ret*t;
if(m==1)
ret=ret*(*this);
}
return ret;
}
bool BigNum::operator>(const BigNum & T) const //大数和另一个大数的大小比较
{
int ln;
if(len > T.len)
return true;
else if(len == T.len)
{
ln = len - 1;
while(a[ln] == T.a[ln] && ln >= 0)
ln--;
if(ln >= 0 && a[ln] > T.a[ln])
return true;
else
return false;
}
else
return false;
}
bool BigNum::operator >(const int & t) const //大数和一个int类型的变量的大小比较
{
BigNum b(t);
return *this>b;
}
void BigNum::print() //输出大数
{
int i;
cout << a[len - 1];
for(i = len - 2 ; i >= 0 ; i--)
{
cout.width(DLEN);
cout.fill('0');
cout << a[i];
}
cout << endl;
}

本文迁移自我的 CSDN博客 ,格式可能有所偏差。

支付宝扫码领红包