Training:卡特兰数(Catalan number)

都是些卡特兰数的简单应用,组合数学上有所介绍。
卡特兰数公式

C n = ( 2 n n ) − ( 2 n n + 1 ) = 1 n + 1 ( 2 n n ) for n ≥ 0

卡特兰数会用到大数,题目代码中的大数部分就不贴了,最后会贴个大数模板。
前几道题并没有什么难度,看组合数学就可以,最后一道用到了快速求组合数。
HDU 2067:
http://acm.hust.edu.cn/vjudge/problem/visitOriginUrl.action?id=13389
输出从 n ∗ n 正方形左下顶点走到右上顶点的不穿越副对角线的路径数目。
就是卡特兰数可以从上方的三角形走,也可以从下方的三角形走,所以是卡特兰数 C n ∗ 2 。

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#include<iostream>
using namespace std;
const int maxn=71;
long long c[maxn][maxn];
int main(){
for(int i=0;i<maxn;++i) c[i][0]=1;
for(int i=1;i<maxn;++i)
for(int j=1;j<=i;++j)
c[i][j]=c[i-1][j]+c[i-1][j-1];
int n,t=0;
while(cin>>n&&n!=-1)
cout<<++t<<" "<<n<<" "<<(c[2*n][n]-c[2*n][n-1])*2<<endl;
return 0;
}

HDU 1134:
http://acm.hust.edu.cn/vjudge/problem/visitOriginUrl.action?id=31502

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BigNum h[110];
int main(){
h[0]=1;
for(int i=1;i<110;++i) h[i]=h[i-1]*(4*i-2)/(i+1);
int n;
while(cin>>n&&n!=-1) h[n].print();
return 0;
}

HDU 1133:
http://acm.hust.edu.cn/vjudge/problem/visitOriginUrl.action?id=18982

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BigNum k[210];
int main(){
k[0]=1;
for(int i=1;i<210;++i) k[i]=k[i-1]*i;
int n,m,t=0;
while(cin>>m>>n&&(n||m)){
cout<<"Test #"<<++t<<":\n";
if(n>m) cout<<0<<endl;
else (k[n+m]*(m-n+1)/(m+1)).print();
}
return 0;
}

HDU 1130:
http://acm.hust.edu.cn/vjudge/problem/visitOriginUrl.action?id=23152

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BigNum h[110];
int main(){
h[0]=1;
for(int i=1;i<110;++i) h[i]=h[i-1]*(4*i-2)/(i+1);
int n;
while(cin>>n&&n!=-1) h[n].print();
return 0;
}

HDU 1131:
http://acm.hust.edu.cn/vjudge/problem/visitOriginUrl.action?id=31500

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BigNum h[110],k[110];
int main(){
h[0]=k[0]=1;
for(int i=1;i<110;++i) h[i]=h[i-1]*(4*i-2)/(i+1),k[i]=k[i-1]*i;
int n;
while(cin>>n&&n) (h[n]*k[n]).print();
return 0;
}

HDU 1023:
http://acm.hust.edu.cn/vjudge/problem/visitOriginUrl.action?id=18469

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BigNum h[110];
int main(){
h[0]=1;
for(int i=1;i<110;++i) h[i]=h[i-1]*(4*i-2)/(i+1);
int n;
while(cin>>n&&n!=-1) h[n].print();
return 0;
}

HDU 1267:
http://acm.hust.edu.cn/vjudge/problem/visitOriginUrl.action?id=38281

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#include<iostream>
using namespace std;
const int maxn=22;
long long a[maxn][maxn];
int main(){
for(int i=0;i<maxn;++i) a[i][0]=1;
for(int i=1;i<maxn;++i)
for(int j=1;j<=i;++j)
a[i][j]=a[i-1][j]+a[i][j-1];
int n,m;
while(cin>>n>>m) cout<<a[n][m]<<endl;
return 0;
}

HDU 3398:
http://acm.hust.edu.cn/vjudge/problem/visitOriginUrl.action?id=14690
类似于卡特兰数,推出公式为

a n s = ( n + m n ) − ( n + m n + 1 ) , ( n , m ≤ 1000000 )


由于 n , m 很大不能使用一般的方法求出组合数,使用唯一分解,然后用快速幂求出所求组合数。

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#include<iostream>
using namespace std;
const int maxn=1000010;
const int mod=20100501;
bool np[maxn*2];
int p[maxn*2],prime;
void pre(){
int k=maxn*2;
for(int i=2;i<k;i++){
if(!np[i]) p[prime++]=i;
for(int j=0;j<prime&&i*p[j]<k;j++){
np[i*p[j]]=1;
if(!(i%p[j])) break;
}
}
}
int cal(int p,int n){
int ans=0;
while(n) n/=p,ans+=n;
return ans;
}
long long mod_exp(int a,int b){
long long cur=1,tmp=a;
while(b){
if(b&1) cur=cur*tmp%mod;
tmp=tmp*tmp%mod;
b>>=1;
}
return cur;
}
int main(){
pre();
int t;cin>>t;
while(t--){
int n,m;cin>>n>>m;
long long ans=1;
int k=n+1-m;
for(int i=0;i<prime&&p[i]<=(n+m);++i){
int cnt=0;
while(k%p[i]==0) k/=p[i],++cnt;
cnt+=cal(p[i],n+m)-cal(p[i],m)-cal(p[i],n+1);
ans*=mod_exp(p[i],cnt),ans%=mod;
}
cout<<ans<<endl;
}
return 0;
}

大数模板:

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#define MAXN 9999
#define MAXSIZE 10
#define DLEN 4

class BigNum
{
private:
int a[500]; //可以控制大数的位数
int len; //大数长度
public:
BigNum(){ len = 1;memset(a,0,sizeof(a)); } //构造函数
BigNum(const int); //将一个int类型的变量转化为大数
BigNum(const char*); //将一个字符串类型的变量转化为大数
BigNum(const BigNum &); //拷贝构造函数
BigNum &operator=(const BigNum &); //重载赋值运算符,大数之间进行赋值运算

friend istream& operator>>(istream&, BigNum&); //重载输入运算符
friend ostream& operator<<(ostream&, BigNum&); //重载输出运算符

BigNum operator+(const BigNum &) const; //重载加法运算符,两个大数之间的相加运算
BigNum operator-(const BigNum &) const; //重载减法运算符,两个大数之间的相减运算
BigNum operator*(const BigNum &) const; //重载乘法运算符,两个大数之间的相乘运算
BigNum operator/(const int &) const; //重载除法运算符,大数对一个整数进行相除运算

BigNum operator^(const int &) const; //大数的n次方运算
int operator%(const int &) const; //大数对一个int类型的变量进行取模运算
bool operator>(const BigNum & T)const; //大数和另一个大数的大小比较
bool operator>(const int & t)const; //大数和一个int类型的变量的大小比较

void print(); //输出大数
};
BigNum::BigNum(const int b) //将一个int类型的变量转化为大数
{
int c,d = b;
len = 0;
memset(a,0,sizeof(a));
while(d > MAXN)
{
c = d - (d / (MAXN + 1)) * (MAXN + 1);
d = d / (MAXN + 1);
a[len++] = c;
}
a[len++] = d;
}
BigNum::BigNum(const char*s) //将一个字符串类型的变量转化为大数
{
int t,k,index,l,i;
memset(a,0,sizeof(a));
l=(int)strlen(s);
len=l/DLEN;
if(l%DLEN)
len++;
index=0;
for(i=l-1;i>=0;i-=DLEN)
{
t=0;
k=i-DLEN+1;
if(k<0)
k=0;
for(int j=k;j<=i;j++)
t=t*10+s[j]-'0';
a[index++]=t;
}
}
BigNum::BigNum(const BigNum & T) : len(T.len) //拷贝构造函数
{
int i;
memset(a,0,sizeof(a));
for(i = 0 ; i < len ; i++)
a[i] = T.a[i];
}
BigNum & BigNum::operator=(const BigNum & n) //重载赋值运算符,大数之间进行赋值运算
{
int i;
len = n.len;
memset(a,0,sizeof(a));
for(i = 0 ; i < len ; i++)
a[i] = n.a[i];
return *this;
}
istream& operator>>(istream & in, BigNum & b) //重载输入运算符
{
char ch[MAXSIZE*4];
int i = -1;
in>>ch;
int l=(int)strlen(ch);
int count=0,sum=0;
for(i=l-1;i>=0;)
{
sum = 0;
int t=1;
for(int j=0;j<4&&i>=0;j++,i--,t*=10)
{
sum+=(ch[i]-'0')*t;
}
b.a[count]=sum;
count++;
}
b.len =count++;
return in;

}
ostream& operator<<(ostream& out, BigNum& b) //重载输出运算符
{
int i;
cout << b.a[b.len - 1];
for(i = b.len - 2 ; i >= 0 ; i--)
{
cout.width(DLEN);
cout.fill('0');
cout << b.a[i];
}
return out;
}

BigNum BigNum::operator+(const BigNum & T) const //两个大数之间的相加运算
{
BigNum t(*this);
int i,big; //位数
big = T.len > len ? T.len : len;
for(i = 0 ; i < big ; i++)
{
t.a[i] +=T.a[i];
if(t.a[i] > MAXN)
{
t.a[i + 1]++;
t.a[i] -=MAXN+1;
}
}
if(t.a[big] != 0)
t.len = big + 1;
else
t.len = big;
return t;
}
BigNum BigNum::operator-(const BigNum & T) const //两个大数之间的相减运算
{
int i,j,big;
bool flag;
BigNum t1,t2;
if(*this>T)
{
t1=*this;
t2=T;
flag=0;
}
else
{
t1=T;
t2=*this;
flag=1;
}
big=t1.len;
for(i = 0 ; i < big ; i++)
{
if(t1.a[i] < t2.a[i])
{
j = i + 1;
while(t1.a[j] == 0)
j++;
t1.a[j--]--;
while(j > i)
t1.a[j--] += MAXN;
t1.a[i] += MAXN + 1 - t2.a[i];
}
else
t1.a[i] -= t2.a[i];
}
t1.len = big;
while(t1.a[len - 1] == 0 && t1.len > 1)
{
t1.len--;
big--;
}
if(flag)
t1.a[big-1]=0-t1.a[big-1];
return t1;
}

BigNum BigNum::operator*(const BigNum & T) const //两个大数之间的相乘运算
{
BigNum ret;
int i,j,up;
int temp,temp1;
for(i = 0 ; i < len ; i++)
{
up = 0;
for(j = 0 ; j < T.len ; j++)
{
temp = a[i] * T.a[j] + ret.a[i + j] + up;
if(temp > MAXN)
{
temp1 = temp - temp / (MAXN + 1) * (MAXN + 1);
up = temp / (MAXN + 1);
ret.a[i + j] = temp1;
}
else
{
up = 0;
ret.a[i + j] = temp;
}
}
if(up != 0)
ret.a[i + j] = up;
}
ret.len = i + j;
while(ret.a[ret.len - 1] == 0 && ret.len > 1)
ret.len--;
return ret;
}
BigNum BigNum::operator/(const int & b) const //大数对一个整数进行相除运算
{
BigNum ret;
int i,down = 0;
for(i = len - 1 ; i >= 0 ; i--)
{
ret.a[i] = (a[i] + down * (MAXN + 1)) / b;
down = a[i] + down * (MAXN + 1) - ret.a[i] * b;
}
ret.len = len;
while(ret.a[ret.len - 1] == 0 && ret.len > 1)
ret.len--;
return ret;
}
int BigNum::operator %(const int & b) const //大数对一个int类型的变量进行取模运算
{
int i,d=0;
for (i = len-1; i>=0; i--)
{
d = ((d * (MAXN+1))% b + a[i])% b;
}
return d;
}
BigNum BigNum::operator^(const int & n) const //大数的n次方运算
{
BigNum t,ret(1);
int i;
if(n<0)
exit(-1);
if(n==0)
return 1;
if(n==1)
return *this;
int m=n;
while(m>1)
{
t=*this;
for( i=1;i<<1<=m;i<<=1)
{
t=t*t;
}
m-=i;
ret=ret*t;
if(m==1)
ret=ret*(*this);
}
return ret;
}
bool BigNum::operator>(const BigNum & T) const //大数和另一个大数的大小比较
{
int ln;
if(len > T.len)
return true;
else if(len == T.len)
{
ln = len - 1;
while(a[ln] == T.a[ln] && ln >= 0)
ln--;
if(ln >= 0 && a[ln] > T.a[ln])
return true;
else
return false;
}
else
return false;
}
bool BigNum::operator >(const int & t) const //大数和一个int类型的变量的大小比较
{
BigNum b(t);
return *this>b;
}

void BigNum::print() //输出大数
{
int i;
cout << a[len - 1];
for(i = len - 2 ; i >= 0 ; i--)
{
cout.width(DLEN);
cout.fill('0');
cout << a[i];
}
cout << endl;
}

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