Training：卡特兰数（Catalan number）

发表于 2015-06-21 分类于 Summaries and pictures Disqus：

都是些卡特兰数的简单应用，组合数学上有所介绍。
卡特兰数公式

C n = ( 2 n n ) − ( 2 n n + 1 ) = 1 n + 1 ( 2 n n ) for n ≥ 0

卡特兰数会用到大数，题目代码中的大数部分就不贴了，最后会贴个大数模板。
前几道题并没有什么难度，看组合数学就可以，最后一道用到了快速求组合数。
HDU 2067：
http://acm.hust.edu.cn/vjudge/problem/visitOriginUrl.action?id=13389
输出从 n ∗ n 正方形左下顶点走到右上顶点的不穿越副对角线的路径数目。
就是卡特兰数可以从上方的三角形走，也可以从下方的三角形走，所以是卡特兰数 C n ∗ 2 。

#include<iostream>
using namespace std;
const int maxn=71;
long long c[maxn][maxn];
int main(){
    for(int i=0;i<maxn;++i) c[i][0]=1;
    for(int i=1;i<maxn;++i)
        for(int j=1;j<=i;++j)
            c[i][j]=c[i-1][j]+c[i-1][j-1];
    int n,t=0;
    while(cin>>n&&n!=-1)
        cout<<++t<<" "<<n<<" "<<(c[2*n][n]-c[2*n][n-1])*2<<endl;
    return 0;
}

HDU 1134：
http://acm.hust.edu.cn/vjudge/problem/visitOriginUrl.action?id=31502

BigNum h[110];
int main(){
    h[0]=1;
    for(int i=1;i<110;++i) h[i]=h[i-1]*(4*i-2)/(i+1);
    int n;
    while(cin>>n&&n!=-1) h[n].print();
    return 0;
}

HDU 1133：
http://acm.hust.edu.cn/vjudge/problem/visitOriginUrl.action?id=18982

BigNum k[210];
int main(){
    k[0]=1;
    for(int i=1;i<210;++i) k[i]=k[i-1]*i;
    int n,m,t=0;
    while(cin>>m>>n&&(n||m)){
        cout<<"Test #"<<++t<<":\n";
        if(n>m) cout<<0<<endl;
        else (k[n+m]*(m-n+1)/(m+1)).print();
    }
    return 0;
}

HDU 1130：
http://acm.hust.edu.cn/vjudge/problem/visitOriginUrl.action?id=23152

BigNum h[110];
int main(){
    h[0]=1;
    for(int i=1;i<110;++i) h[i]=h[i-1]*(4*i-2)/(i+1);
    int n;
    while(cin>>n&&n!=-1) h[n].print();
    return 0;
}

HDU 1131：
http://acm.hust.edu.cn/vjudge/problem/visitOriginUrl.action?id=31500

BigNum h[110],k[110];
int main(){
    h[0]=k[0]=1;
    for(int i=1;i<110;++i) h[i]=h[i-1]*(4*i-2)/(i+1),k[i]=k[i-1]*i;
    int n;
    while(cin>>n&&n) (h[n]*k[n]).print();
    return 0;
}

HDU 1023：
http://acm.hust.edu.cn/vjudge/problem/visitOriginUrl.action?id=18469

BigNum h[110];
int main(){
    h[0]=1;
    for(int i=1;i<110;++i) h[i]=h[i-1]*(4*i-2)/(i+1);
    int n;
    while(cin>>n&&n!=-1) h[n].print();
    return 0;
}

HDU 1267：
http://acm.hust.edu.cn/vjudge/problem/visitOriginUrl.action?id=38281

#include<iostream>
using namespace std;
const int maxn=22;
long long a[maxn][maxn];
int main(){
    for(int i=0;i<maxn;++i) a[i][0]=1;
    for(int i=1;i<maxn;++i)
        for(int j=1;j<=i;++j)
            a[i][j]=a[i-1][j]+a[i][j-1];
    int n,m;
    while(cin>>n>>m) cout<<a[n][m]<<endl;
    return 0;
}

HDU 3398：
http://acm.hust.edu.cn/vjudge/problem/visitOriginUrl.action?id=14690
类似于卡特兰数，推出公式为

a n s = ( n + m n ) − ( n + m n + 1 ) , ( n , m ≤ 1000000 )

。
由于 n , m 很大不能使用一般的方法求出组合数，使用唯一分解，然后用快速幂求出所求组合数。

#include<iostream>
using namespace std;
const int maxn=1000010;
const int mod=20100501;
bool np[maxn*2];
int p[maxn*2],prime;
void pre(){
    int k=maxn*2;
    for(int i=2;i<k;i++){
        if(!np[i]) p[prime++]=i;
        for(int j=0;j<prime&&i*p[j]<k;j++){
            np[i*p[j]]=1;
            if(!(i%p[j])) break;
        }
    }
}
int cal(int p,int n){
    int ans=0;
    while(n) n/=p,ans+=n;
    return ans;
}
long long mod_exp(int a,int b){
    long long cur=1,tmp=a;
    while(b){
        if(b&1) cur=cur*tmp%mod;
        tmp=tmp*tmp%mod;
        b>>=1;
    }
    return cur;
}
int main(){
    pre();
    int t;cin>>t;
    while(t--){
        int n,m;cin>>n>>m;
        long long ans=1;
        int k=n+1-m;
        for(int i=0;i<prime&&p[i]<=(n+m);++i){
            int cnt=0;
            while(k%p[i]==0) k/=p[i],++cnt;
            cnt+=cal(p[i],n+m)-cal(p[i],m)-cal(p[i],n+1);
            ans*=mod_exp(p[i],cnt),ans%=mod;
        }
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}

大数模板：

#define MAXN 9999
#define MAXSIZE 10
#define DLEN 4

class BigNum
{
private:
    int a[500];    //可以控制大数的位数
    int len;       //大数长度
public:
    BigNum(){ len = 1;memset(a,0,sizeof(a)); }   //构造函数
    BigNum(const int);       //将一个int类型的变量转化为大数
    BigNum(const char*);     //将一个字符串类型的变量转化为大数
    BigNum(const BigNum &);  //拷贝构造函数
    BigNum &operator=(const BigNum &);   //重载赋值运算符，大数之间进行赋值运算

    friend istream& operator>>(istream&,  BigNum&);   //重载输入运算符
    friend ostream& operator<<(ostream&,  BigNum&);   //重载输出运算符

    BigNum operator+(const BigNum &) const;   //重载加法运算符，两个大数之间的相加运算
    BigNum operator-(const BigNum &) const;   //重载减法运算符，两个大数之间的相减运算
    BigNum operator*(const BigNum &) const;   //重载乘法运算符，两个大数之间的相乘运算
    BigNum operator/(const int   &) const;    //重载除法运算符，大数对一个整数进行相除运算

    BigNum operator^(const int  &) const;    //大数的n次方运算
    int    operator%(const int  &) const;    //大数对一个int类型的变量进行取模运算
    bool   operator>(const BigNum & T)const;   //大数和另一个大数的大小比较
    bool   operator>(const int & t)const;      //大数和一个int类型的变量的大小比较

    void print();       //输出大数
};
BigNum::BigNum(const int b)     //将一个int类型的变量转化为大数
{
    int c,d = b;
    len = 0;
    memset(a,0,sizeof(a));
    while(d > MAXN)
    {
        c = d - (d / (MAXN + 1)) * (MAXN + 1);
        d = d / (MAXN + 1);
        a[len++] = c;
    }
    a[len++] = d;
}
BigNum::BigNum(const char*s)     //将一个字符串类型的变量转化为大数
{
    int t,k,index,l,i;
    memset(a,0,sizeof(a));
    l=(int)strlen(s);
    len=l/DLEN;
    if(l%DLEN)
        len++;
    index=0;
    for(i=l-1;i>=0;i-=DLEN)
    {
        t=0;
        k=i-DLEN+1;
        if(k<0)
            k=0;
        for(int j=k;j<=i;j++)
            t=t*10+s[j]-'0';
        a[index++]=t;
    }
}
BigNum::BigNum(const BigNum & T) : len(T.len)  //拷贝构造函数
{
    int i;
    memset(a,0,sizeof(a));
    for(i = 0 ; i < len ; i++)
        a[i] = T.a[i];
}
BigNum & BigNum::operator=(const BigNum & n)   //重载赋值运算符，大数之间进行赋值运算
{
    int i;
    len = n.len;
    memset(a,0,sizeof(a));
    for(i = 0 ; i < len ; i++)
        a[i] = n.a[i];
    return *this;
}
istream& operator>>(istream & in,  BigNum & b)   //重载输入运算符
{
    char ch[MAXSIZE*4];
    int i = -1;
    in>>ch;
    int l=(int)strlen(ch);
    int count=0,sum=0;
    for(i=l-1;i>=0;)
    {
        sum = 0;
        int t=1;
        for(int j=0;j<4&&i>=0;j++,i--,t*=10)
        {
            sum+=(ch[i]-'0')*t;
        }
        b.a[count]=sum;
        count++;
    }
    b.len =count++;
    return in;

}
ostream& operator<<(ostream& out,  BigNum& b)   //重载输出运算符
{
    int i;
    cout << b.a[b.len - 1];
    for(i = b.len - 2 ; i >= 0 ; i--)
    {
        cout.width(DLEN);
        cout.fill('0');
        cout << b.a[i];
    }
    return out;
}

BigNum BigNum::operator+(const BigNum & T) const   //两个大数之间的相加运算
{
    BigNum t(*this);
    int i,big;      //位数
    big = T.len > len ? T.len : len;
    for(i = 0 ; i < big ; i++)
    {
        t.a[i] +=T.a[i];
        if(t.a[i] > MAXN)
        {
            t.a[i + 1]++;
            t.a[i] -=MAXN+1;
        }
    }
    if(t.a[big] != 0)
        t.len = big + 1;
    else
        t.len = big;
    return t;
}
BigNum BigNum::operator-(const BigNum & T) const   //两个大数之间的相减运算
{
    int i,j,big;
    bool flag;
    BigNum t1,t2;
    if(*this>T)
    {
        t1=*this;
        t2=T;
        flag=0;
    }
    else
    {
        t1=T;
        t2=*this;
        flag=1;
    }
    big=t1.len;
    for(i = 0 ; i < big ; i++)
    {
        if(t1.a[i] < t2.a[i])
        {
            j = i + 1;
            while(t1.a[j] == 0)
                j++;
            t1.a[j--]--;
            while(j > i)
                t1.a[j--] += MAXN;
            t1.a[i] += MAXN + 1 - t2.a[i];
        }
        else
            t1.a[i] -= t2.a[i];
    }
    t1.len = big;
    while(t1.a[len - 1] == 0 && t1.len > 1)
    {
        t1.len--;
        big--;
    }
    if(flag)
        t1.a[big-1]=0-t1.a[big-1];
    return t1;
}

BigNum BigNum::operator*(const BigNum & T) const   //两个大数之间的相乘运算
{
    BigNum ret;
    int i,j,up;
    int temp,temp1;
    for(i = 0 ; i < len ; i++)
    {
        up = 0;
        for(j = 0 ; j < T.len ; j++)
        {
            temp = a[i] * T.a[j] + ret.a[i + j] + up;
            if(temp > MAXN)
            {
                temp1 = temp - temp / (MAXN + 1) * (MAXN + 1);
                up = temp / (MAXN + 1);
                ret.a[i + j] = temp1;
            }
            else
            {
                up = 0;
                ret.a[i + j] = temp;
            }
        }
        if(up != 0)
            ret.a[i + j] = up;
    }
    ret.len = i + j;
    while(ret.a[ret.len - 1] == 0 && ret.len > 1)
        ret.len--;
    return ret;
}
BigNum BigNum::operator/(const int & b) const   //大数对一个整数进行相除运算
{
    BigNum ret;
    int i,down = 0;
    for(i = len - 1 ; i >= 0 ; i--)
    {
        ret.a[i] = (a[i] + down * (MAXN + 1)) / b;
        down = a[i] + down * (MAXN + 1) - ret.a[i] * b;
    }
    ret.len = len;
    while(ret.a[ret.len - 1] == 0 && ret.len > 1)
        ret.len--;
    return ret;
}
int BigNum::operator %(const int & b) const    //大数对一个int类型的变量进行取模运算
{
    int i,d=0;
    for (i = len-1; i>=0; i--)
    {
        d = ((d * (MAXN+1))% b + a[i])% b;
    }
    return d;
}
BigNum BigNum::operator^(const int & n) const    //大数的n次方运算
{
    BigNum t,ret(1);
    int i;
    if(n<0)
        exit(-1);
    if(n==0)
        return 1;
    if(n==1)
        return *this;
    int m=n;
    while(m>1)
    {
        t=*this;
        for( i=1;i<<1<=m;i<<=1)
        {
            t=t*t;
        }
        m-=i;
        ret=ret*t;
        if(m==1)
            ret=ret*(*this);
    }
    return ret;
}
bool BigNum::operator>(const BigNum & T) const   //大数和另一个大数的大小比较
{
    int ln;
    if(len > T.len)
        return true;
    else if(len == T.len)
    {
        ln = len - 1;
        while(a[ln] == T.a[ln] && ln >= 0)
            ln--;
        if(ln >= 0 && a[ln] > T.a[ln])
            return true;
        else
            return false;
    }
    else
        return false;
}
bool BigNum::operator >(const int & t) const    //大数和一个int类型的变量的大小比较
{
    BigNum b(t);
    return *this>b;
}

void BigNum::print()    //输出大数
{
    int i;
    cout << a[len - 1];
    for(i = len - 2 ; i >= 0 ; i--)
    {
        cout.width(DLEN);
        cout.fill('0');
        cout << a[i];
    }
    cout << endl;
}

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